Definizione: Sia $(S): \sum^t_{j=1}a_{ij}x_j=b_i$ dove $i=1,2,…,S$ un sistema di $S$ equazioni nelle incognite $x_1,x_2,…,x_t$. La matrice associata al sistema $(S)$ è:
$$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1t} & -b_1 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2t} & -b_2 \\ \vdots \\ a_{S1} & a_{S2} & a_{S3} & \cdots & a_{St} & -b_S \\ \end{bmatrix} $$
La matrice avrà $S$ righe e, in questo caso (perchè noi abbiamo scelto di rappresentare il termine noto $b$ alla fine invertendo il segno), $t+1$ colonne
Le operazioni che svolgiamo con l’algoritmo di Gauss possono essere svolte anche sulle matrici
Algoritmo di Gauss nella matrice:
$$ (S)=\begin {cases} x_1+2x_2-5x_3=2\\ 2x_1-3x_2+4x_3=4\\ 4x_1+x_2-6x_3=8 \end{cases} $$
Trasformiamo il sistema di partenza in una matrice:
$$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & -5 & -2 \\ 2 & -3 & 4 & -4 \\ 4 & 1 & -6 & -8 \\ \end{bmatrix} $$
ora passiamo ad applicare le regole che abbiamo visto:
$$ \overset{{R_2\leftarrow R_2-2R_1}\atop{R_3\leftarrow R_3-4R_1}}{\longrightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -5 & -2 \\ 0 & -7 & 14 & 0 \\ 0 & -7 & 14 & 0 \\ \end{bmatrix} $$
$$ \overset{R_2\leftarrow\frac{1}{-7}\cdot R_2}{\longrightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 2 & -5 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & -7 & 14 & 0 \\ \end{bmatrix} $$
$$ \overset{{R_1\leftarrow R_1-2R_2}\atop{R_3\leftarrow R_3+7R_2}}{\longrightarrow} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} $$
In questo modo ho trovato i miei pivot (i due $1$ nelle prime due colonne) nella terza riga ci sono solo $0$ ma la matrice è comunque in forma di echelon ridotta. Ora dobbiamo tornare al sistema:
$$ (S)=\begin{cases} x_1-x_3=2 \\ x_2-2x_3=0 \\ 0=0 \\ \end{cases} $$
Le soluzioni di $(S)$ sono:
$W=\{(x_3+2,2x_3,x_3)\ \text{con}\ x_3\in \R \}=$
possiamo riscriverlo come:
$=\{x_3(1,2,1)+(2,0,0) \ \text{con}\ x_3\in \R \}$
<aside> 💡 Se facendo queste operazioni nell’utlima colonna (quella del termine $b$) troviamo un pivot, troviamo che il sistema corrispondente ha un equazione che è impossibile.
</aside>