Osservazione: Sia $A: V\to W$ una trasformazione lineare tra spazi vettori reali. $A$ è iniettiva se e solo se il Kernel di $A$ contiene solo il vettore 0. Se $A$ è iniettiva, allora se $v\neq 0$, $A(v) \neq A(0)$ ma noi sappiamo ce $A(0)=0$, quindi $v\notin Ker A$. Quindi $KerA = \{ 0 \}$. Se $A$ non è iniettiva, allora esistono $v$ e $w$ in $V$ con $v\neq w$ tali che $A(v) = A(w)$ quindi noi possiamo fare che $A(v)-A(w) = A(v-w) \neq 0$ quindi $0 \neq v-w \in Ker A$.
Osservazione: Sia $A: V\to W$ lineare e sia $dim_\R W$ finita. $A$ è suriettiva se e solo se $dim_\R Imm(A) = dim_\R W$. Se $A$ è suriettiva, $ImmA = W$. Se A non è suriettiva, $dim_\R Imm(A) < dim_\R W$.
Corollario: Siano $V$ e $W$ spazi vettoriali reali, con $dim_\R V = dim_\R W = d \in \N$. Sia $A: V\to W$ una trasformazione lineare. Allora:
- $A$ è iniettiva se e solo se $dim_\R Ker A = 0$
- $A$ è suriettiva se e solo se $dim_\R Imm A = d$
- $A$ è invertibile se e solo se $A$ è iniettiva e se e solo se $A$ è suriettiva
Dimostrazione:
Siano $V$ e $W$ due spazi vettoriali reali di dimensione finita. Sia $E=\{ e_1, e_2, …, e_t \}$ una base di $V$. Sia $F=\{ f_1, f_2, …, f_s \}$ una base di $W$. Sia $A: V \to W$ una trasformazione lineare.
Prendiamo l’immagine di $e_j$:
così facendo otteniamo una matrice:
Andiamo a prendere un vettore $v$ e lo scriviamo nelle coordinate della base $e$:
Quindi ora abbiamo scritto A(v) in termini della base f, diamo un nome ad A(v):
Semplifichiamo le cose in uno schema:
prendiamo una matrice e la trasformazione lineare associata:
Questa matrice rappresenta una rotazione di 90 gradi.
