Esempio 2 (continuo lezione 6)

Abbiamo 3 vettori:

1. $\{v_1, v_2, v_3 \}$ è una base di $\R^3$
2. trovare le coordinate di $w=\begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ nella base $\{v_1, v_2, v_3 \}$

usiamo Gauss per trovare i pivot:

pivot 1 prima riga con Gauss

pivot seconda riga e calcoli necessari per pivot terza riga

matrice risolta

abbiamo trovato un pivot in ogni colonna, questo ci dice che i tre vettori sono indipendenti. Quindi $\{v_1, v_2, v_3 \}$ è indipendente e siccome $\R^3$ ha dimensione 3, è una base. (punto 1)

calcoliamo ora le coordinate del punto $w$:

noi cerchiamo $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ tali che $w=\lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 +\lambda_3 v_3$ ovvero:

dalla formula possiamo ricavare la forma in vettori, che può essere sintetizzata in una matrice unica e poi riscritta sotto forma di sistema, ora possiamo risolvere il sistema con il metodo che sfrutta Gauss che conosciamo:

matrice dei coefficienti e dei termini noti invertiti

Risoluzione con Gauss