Partiamo da una serie di vettori
$v_1,v_2,…,v_t$ che fanno parte di $\R^S$
noi ci chiediamo quale sia la dimensione dello spazio generato da questi vettori.
diamo un nome alle coordinate dei vettori e posizioniamoli nelle colonne di una matrice:
vettore $v_j$ con coordinate definite
matrice generata
per trovare la dimensione dobbiamo trovare una base di questi vettori, quindi devo estrarre un sottoinsieme dipendete massimato.
Per farlo applichiamo l’algoritmo di Gauss e otterremo in delle posizioni dei pivot:
noi ora dobbiamo guardare gli indici delle colonne, e possiamo affermare che:
i vettori dei pivot sono una vase dei vettori di partenza
dimostriamo che i vettori che abbiamo trovato sono indipendenti:
partiamo dal cercare di capire quando tutti i vettori t sono indipendente e lo sono quando:
(definizione di indipendente)
scriviamo la combinazione lineare :
poteva essere scritto anche come:
sostanzialmente stiamo moltiplicando la matrice per un vettore lambda: