Proposizione: Sia $V$ uno spazio vettoriale reale, sia $x$ un sottoinsieme dello spazio vettoriale $V$, allora l’insieme delle combinazioni lineari di $x$ è un sottospazio, che chiameremo sottospazio generato da $x$.

Dimostrazioni, siano $v$ e $w$ due vettori in $\langle x \rangle$, allora esistono:

tali che:

Per vedere che la somma sia dentro questo insieme dobbiamo vedere che la somma si può scrivere come combinazione lineare di elementi di $x$:

e questa è una combinazione lineare dentro $x$

Come troviamo la somma funziona anche per la moltiplicazione per un valore reale $\lambda$.

Osservazione: x è contenuto nel sottospazio generato da x

Definizione: Sia $V$ uno spazio vettoriale reale e $X \subseteq V$ un sottoinsieme, Diciamo che $X$ genera $V$ se il sottospazio generato da $X$ è tutto $V$

Esempio 1

Prendiamo un vettore in \R^t prendiamo come insieme i vettori e_i che sono composti da tutti 0 tranne nella i-esima posizione, x lo possiamo chiamare come base canonica di \R^t.

Noi vogliamo capire chi è il sottospazio generato da x.

usando la definizione di combinazione lineare

facendo il calcolo ottengo che:

facendo in questo modo abbiamo dimostrato che la base canonica genera tutto $\R^t$

Esempio 2

partiamo sempre dalla matrice a e gli associamo la sua trasformazione lineare

L’algoritmo di Gauss ci dava un insieme di vettori v che erano delle soluzioni del nostro sistema tali che tutte le soluzioni potevamo scrivere tutte le soluzioni come moltiplicazioni tra $\lambda$ e $v$

Noi partivamo da un sistema omogeneo e arrivavamo tramite l’algoritmo di Gauss ad una matrice in forma di echelon ridotta quindi poi usavamo le equazioni per riscrivere le soluzioni)

noi potevamo riscrivere il vettore mettendo in evidenza le variabili libere: