Proprietà spazi vettoriali

Proposizione: Sia $V$ uno spazio vettoriale reale, per ogni $v,v_1,v_2,…,v_k \in V$ e $\lambda,\lambda_1,\lambda_2,…,\lambda_k \in \R$ devo avere le seguenti proprietà:

1. $\lambda \cdot 0 = 0$
2. $0 \cdot v = 0$
3. se $\lambda \cdot v = 0$ allora o $\lambda = 0$ oppure $v = 0$
4. $(\sum_{i=1}^k \lambda_i) \cdot v = \sum_{i=1}^k(\lambda_iv )$
5. $\lambda(\sum_{i=1}^k v_i) = \sum_{i=1}^k(\lambda v_i )$
6. $(-\lambda)\cdot v = \lambda \cdot (-v) = -(\lambda v)$

Dimostrazione:

io voglio levare i due $\lambda 0$

Osservazione:

Proprietà di linearità

Definizione: Dati due spazi vettoriali reali $V$ e $W$ una trasformazione lineare $A: V \to W$ è una funzione tale che vengano rispettate le proprietà di linearità:

1. $A(x+y) = A(x) + A(y)$ la prima somma è in $V$ la seconda somma è in $W$
2. $A(\lambda x) = \lambda A(x)$ per ogni $x\in V$ e $\lambda \in \R$

Esempio 1

Prendiamo una matrice $a=(a_{ij}) \in M_{S\times t}(\R)$ la trasformazione lineare associata ovvero una funzione $A:\R^t \to \R^s$ rispetta le due proprietà.

Esempio 2

definiamo una funzione $D$ tra due polinomi $D:\R(x) \to \R(x)$ la funzione funziona così:

$D(\sum_{n\geq 0}a_n x^n) := \sum_{n\geq 1} n a_n x^{n-1}$

La derivata è una trasformazione lineare tra questi due spazi vettoriali che sono polinomi quindi dobbiamo verificare che:

$D(f(x)+g(x)) =D(f(x)) + D(g(x))$

$D(\lambda \cdot f(x)) = \lambda D(f(x))$

Questa funzione è suriettiva (l’immagine di questa funzione è tutto lo spazio d’arrivo, ogni polinomio nell’insieme di arrivo è derivato da un polinomio di partenza). Questa funzione non è iniettiva.

Esempio 3

definiamo una funzione $Int$ derivata dalle funzioni continue in $\R$ alle funzioni continue in $\R$

$Int: C(\R) \to C(\R)$ dove $C(\R) = \{ f:\R \to \R \ \text{continue}\}$

$f\in C(\R)$, $Int(f)(x):=\int^x_0f(t)dt$ per ogni $x\in \R$

l’integrale avendo le due proprietà di linearità rispetta le condizioni per essere una trasformazione lineare

Sottospazio