Definizione: Sia A un operatore lineare da V a V su uno spazio vettoriale reale V. Un autovettore di A è un vettore $v\in V$ tale che $A(v) = \lambda \cdot v$ per un certo $\lambda \in \R$.
Un autovalore di A è un $\lambda \in \R$ tale che esiste un autovettore NON NULLA $v\in V$ di A tale che $A(v) = \lambda \cdot v$.
L’insieme degli autovalori di A è detto lo SPETTRO di A.
Proposizione: Sia A un operatore lineare sullo spazio vettoriale reale V, se $\lambda$ è un autovalore di A, allora l’insieme:
è un sottospazio di V detto autospazio relativo all’autovalore di $\lambda$.
Dimostrazione: io parto da due valori in $V_\lambda$ e due valori $\alpha$ e $\beta$, devo controllare che la loro combinazione lineare è ancora in $V_\lambda$:
il Kernel di A sono i vettori mandati in 0 quindi il kernel è:
prendiamo come operatore $\lambda$ volte l’identità di V quindi abbiamo:
chi è $V_\lambda$? :
prendiamo una matrice diagonale:
poi abbiamo la trasformazione lineare associata:
